Лебедев Ю.А.

О некоторых эвереттических аспектах сиракузской последовательности ("3N+1"-проблемы в теории чисел)

Если не принимать во внимание главного – в данном случае интересов развития стратегических гносеологических направлений – то на существующую в теории чисел (3N+1)-проблему можно было бы просто не обращать внимания, оставив её для вдумчивой академической работы тем, кто занимается этим профессионально.
Более того, я вовсе не хотел бы «популяризировать» эту проблему среди коротающих свободное время в интеллектуальных забавах. Слишком сложна задача, чтобы вовлекать в поиски ее решения еще не окрепшие души искателей интеллектуальных приключений – из подобных математических омутов не всякий, даже хорошо математически подкованный «интеллектуальный спортсмен», способен выплыть и вернуться в русло «обычной жизни». Бывали случаи, когда даже профессиональные математики доходили до стадии нервных срывов при углублении в поиски решения. В этом смысле, к сожалению, (3N+1)-проблема уже упоминается во множестве дискуссий на различных интернетовских сайтах, на форумах и математических олимпиадах [см. напр.1,2]. Правда, она не столь известна «широкой публике» как задача о квадратуре круга, трисекции угла или теорема Ферма. За ней, по крайней мере сейчас, не стоит никаких обещанных премий и о ней не говорят ни по «Эху Москвы», ни с экрана ТВ. (Но был в ее истории момент, когда солидная денежная премия была обещана, и это вызвало волну возбуждения в «широких кругах околоматематической общественности» на Западе). Поскольку я лично не обещаю ни копейки соискателям лавров покорителей этого математического Эвереста, то и надеюсь, что эта статья не привлечет ещё не окрепших духом «чисто математических» неофитов в эту, как я постараюсь показать позже, не только математическую проблему…
Из «прикладных» работ, посвященных этой проблеме, мне известно только одно ее не «строго математическое» приложение - она привлекается в качестве одного из примеров, иллюстрирующих знаменитую теорему Геделя о неполноте логико-аксиоматических систем [3].
Наиболее полным популярным обзором на русском языке по математическим аспектам данной проблемы является, на мой взгляд, статья Брайана Хэйеса в «Scientific American» («В мире науки») [4]. И, хотя с момента ее публикации прошло почти 20 лет, и полная библиография по этой проблеме огромна, каких-либо серьезных прорывов в её решении почти нет. Впрочем, такая оценка – это мнение «человека со стороны». Что такое «прорыв» в решении такой проблемы с профессиональной точки зрения, судить профессионалам. Но они не торопятся оповещать о своих достижениях публику по причинам, может быть, связанным с отмеченной выше опасностью – привлечь внимание дилетантов к этой математической загадке. Или им не хватает способностей и времени, чтобы изложить свои идеи в доступной для не математиков форме? Не берусь судить…
Учитывая сказанное, и, надеясь на разумное поведение читателя, все же поясню – что же такое «сиракузская последовательность»? В исходном варианте все выглядит элементарно. Берется любое натуральное число N и на его основе строится последовательность по следующим правилам. Если N четно, то следующий член последовательности равен N/2. Если N нечетно, то следующий член равен 3N+1. (В настоящее время профессионалы рассматривают N не только как натуральное, но и как целое, и вообще законы формирования следующего за нечетным члена последовательности могут быть разного вида и степени сложности. Я для краткости всю совокупность аналогичных последовательностей буду рассматривать как единую сиракузскую проблему …)
Суть проблемы заключается в следующем. Экспериментально это сделал сотрудник Токийского университета Набуо Йонеда. Он провел «простой перебор» последовательностей со все возрастающим значением N с помощью компьютеров (тогда они назывались ЭВМ) той мощности, которая была достигнута в 80-е годы прошлого века [4]. Оказалось, что для всех N, меньших, чем 1099511627776, эта последовательность ВСЕГДА конечна и ВСЕГДА оканчивается числами 2,1. (Строго говоря – «окончанием» последовательности является цикл 2,1). Но доказательства того, что так будет и при бóльших N, нет. Также, как и нет ни одного опровергающего примера.
Интересно то, что такие последовательности, разумеется, не монотонны и, в большинстве случаев имеют «максимумы» (порой много) или, если говорить в терминах движения по числовой оси, «попятные движения» на значительную «глубину». Установлены некие закономерности - в зависимости от N иногда можно указать вероятности тех или иных особенностей поведения последовательностей. Есть красивые теоремы, есть огромный массив математической информации. Но именно это со всей очевидностью доказывает – общего решения так и нет, несмотря на то, что занимаются проблемой математики весьма высокого уровня.
Лично мне ситуация напоминает столь же загадочное поведение простых чисел, если рассматривать их положение на числовой оси, свернутой в спираль – на плоскости появляется рисунок, включающий порой несколько десятков точек на одной прямой, проведенной из центра спирали в определенном направлении, линии таких цепочек образуют узор, явно не хаотический, но никакой аналитической закономерности найти не удается…
Прежде, чем переходить к рассмотрению эвереттических аспектов теории построения сиракузской последовательности, приведу ряд наблюдений, полученных мною при попытке рассмотреть «расширенную сиракузскую географию» (Кстати, ничего «древнегреческого» в названии задачи нет. Сиракузы появились в нем потому, что Г.Хассе ввел ее в Сиракузском университете в 1950-х годах, хотя сама проблема была сформулирована около 1930 года Лотаром Коллатцом в Гамбурге [4]). Я имею в виду упомянутое выше расширение класса условий формирования последующего члена – рассмотрение последовательностей, в которых для нечетного N принят отличный от (3N+1) закон образования.
Это отдельное творческое поле в исследовании сиракузской проблемы – установление закона формирования следующего за нечетным члена последовательности. И на этом поле заведомо произрастают весьма необычные и удивительные плоды. Что-то, как мне кажется, весьма интересное есть на «грядке» законов, содержащих N/2, что-то – на других «грядках».
Так, в [5] наряду с «классическими» сиракузскими последовательностями рассматриваются (3N-1)-последовательности, для которых вместо «классического» правила
N --> 3N+1 --> (3N+1)/2
действует правило
N --> 3N-1 --> (3N-1)/2.

В этом случае - при замене (3N+1)/2 на (3N-1)/2 - возникают три новых
объекта: неподвижная точка 1 и два замкнутых цикла -

c1={10,5,7,10} и c2={25,37,55,82,41,61,91,136,68,34,17,25},

и при разных начальных условиях траектории (числовые цепочки,
начинающиеся с N) приходят либо к 1 (например, для N=79), либо к c1,
(например, для N=80 или N=81) либо к c2 (например, для N=82).
Понятно, что если последующий за нечетным член cиракузской последовательности образуется по правилу nN+1 при n четном, мы получим бесконечный возрастающий ряд нечетных чисел.
Поскольку общего решения нет, я из любопытства рассмотрел cиракузские последовательности при n=1,5,7,9,11. И вот к чему привело это рассмотрение. Подчеркиваю, что приведенные ниже результаты ничего не доказывают. Это просто наблюдения. И приведены они для того, чтобы лишний раз предупредить о том, что для занятия проблемой cиракузской последовательности одного энтузиазма и пары часов свободного времени совершенно недостаточно. В физике это называлось бы «сырой экспериментальный материал».
При n=1 сохранились все основные свойства «классических Сиракуз» - при любом взятом мною N из первой сотни чисел получается «классический конец» 2,1. И, как мне кажется, было бы целесообразно за «базу» исследований взять именно эту, (N+1), простейшую формулу. Хотя при этом последовательности являются «более скучными» - в них нет ярких максимумов. Впрочем, у математиков, есть, вероятно, и другие соображения по поводу того, почему не стоит тратить усилий на этот класс cиракузских последовательностей…
При n=5 первая же содержательная последовательность для N=5 имеет следующий вид:
5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13….,
то есть образовалась замкнутая петля вида {13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13}. Для N=6 все очень быстро приходит к «классике»: 6, 3, 8, 4, 2, 1. А вот при N=7 последовательность, как голова дракона, высунулась из цифрового моря и я успел зафиксировать только: 7, 36, 18, 9, 46, 23, 58, 29, 146, 73, 366, 183, 916, 458, 229, 1146, 573, 2866, 1433, 7166, 3583, 17916, 8958, 4479, 22396, 11198, 5599, 27996, 13998, 6999, 34996, 17498, 8749, 43746, 21873 … Что там дальше – я не знаю. Попробовал «наудачу» N=41. Удачи не было – двадцать седьмым членом последовательности оказалось число 3093 и «внутренний голос» подсказывал, что до хвоста этого числового дракона мне с моим калькулятором не добраться…
Не буду утомлять примерами последовательностей, полученных мною для N=13 при применении формул для последующих нечетных членов cиракузской последовательности вида (7N+1), (9N+1) и (11N+1). Скажу только, что ни одну из них мне не удалось довести до конца, и для (7N+1) семьдесят седьмой член последовательности оказался равным 107217958…
В ходе работы над этой статьей мне стало известно «из хорошо информированного источника», что современные гипотезы говорят о том, что в последовательностях тех типов, которые я рассмотрел из любопытства, всегда образуются замкнутые циклы. Но для каждого сочетания N и n они свои, их может быть много, они имеют очень разные длины и каждый раз их следует искать «экспериментально». А если вместо 1 в формуле для следующего за нечетным члена последовательности рассматривать некоторое целое число h, то картина еще более усложняется.
Так, было показано, что какова бы ни была произвольно построенная последовательность четных и нечетных чисел (например, чнчнчннннччнннчн… или нннчннчччнчннчнчнн… или любая другая), всегда найдется значение h, при котором каждая такая цепочка реально возникает в какой-то конкретной сиракузской последовательности. (Это, кстати, один из примеров того, что математики считают «серьезными прорывами» в поисках общего решения (3N+1)-проблемы).
Какое же отношение эта сугубо теоретико-числовая задача имеет к эвереттике? Для читателя, незнакомого с эвереттикой, я бы рекомендовал обратиться на сайт МЦЭИ (Международного Центра Эвереттических Исследований) [6]. Однако, чтобы не «терять темп», сообщу, что эвереттика – это мировоззренческая система, рассматривающие Бытие на основе понятия Мультиверса (или многомирия). Это понятие возникло из развития идей американского физика Хью Эверетта по некопенгагенской интерпретации квантовой механики [7]. Сегодня среди сторонников Мультиверса можно встретить таких известных физиков, как Гелл-Ман, Вайнберг, Линде и целый ряд других авторитетов.
Точку соприкосновения проблемы cиракузской последовательности с эвереттикой я увидел в том, что в эвереттике весьма актуальной является проблема ветвления времени «в обратную сторону» [8], а cиракузская последовательность является одним из алгоритмов, который может «проявить» такое ветвление.
Для того, чтобы задача увязки cиракузской последовательности с ветвлениями Мультиверса имела «физический смысл», следует исключить из описания реальности континуальность. Что, впрочем, сделать достаточно легко, ибо «континуум это всего лишь красивая аппроксимация дискретной реальности», как справедливо, по-моему, отметил В.Малука.
Если придерживаться причинно-следственной картины мира, то всякое событие, являясь причиной и порождая следствие, является сущностью дискретной, отдельной от других событий. Я не считаю, что эта концепция (причинно-следственная картина мира) является «единственно верной» для описания реальности, но в качестве аксиомы она вполне приемлема и отражает многие свойства того мира, того ветвления Мультиверса, где мы бытийствуем.
Если принять аксиому о локальной причинности («здесь и сейчас» у каждого события есть событие-причина), то можно пронумеровать все события от «Большого взрыва» до настоящего момента и далее – в «будущее». При этом нумероваться должны не только «реальные» события, но и все «альтернативные» - номер должен быть присвоен и произошедшему переходу электрона на соседнюю орбиталь, и любому другому физически разрешенному при данной энергии. Таким образом (более детальная процедура нумерации – это отдельная эвереттико-математическая задача) может быть получен натуральный ряд, в котором, подобно геному, будет зашифрована информация «обо всем». Сходство таких последовательностей с геномом весьма, на мой взгляд, очевидно даже формально – вспомните изложенную выше теорему о наличии подходящего h для любой последовательности четных и нечетных чисел.
При такой методике близкие по локальному времени события будут располагаться в определенной зоне числовой оси, причем «объем» такой зоны на оси для одного планковского кванта времени (около 10^-43 c), будет равен примерно гуголу (10^100). Если вспомнить, что от события номер 1 (Большого взрыва) нас отделяют около 13 млрд. лет, а каждое ветвление такого объекта, как «наша вселенная» (содержащего все элементарные частицы и кванты всех полей, включая и таинственную темную материю и темную энергию) порождает гуголплексное** число ветвлений, то можно представить себе – на каком далеком участке «генотипной» числовой оси натурального ряда чисел лежат номера событий «нашего времени»! (Вернее, следовало бы написать «невозможно даже представить себе»…). Однако, все это – в рамках обычной числовой оси натурального ряда!
Чтобы не затемнять сути, откажемся пока от анализа тех следствий струнных теорий, которые предполагают наличие сотен тысяч гуголов реальных физических вакуумов различной природы [9]. (Замечу, например, что А.Линде на своих лекциях в МГУ 08.12.05 и 13.12.05 говорил как о вполне возможном количестве вакуумов до 10^1000 [10]).
Отвлечемся и от «проблемы нуля» - в событии номер 0 (до Большого взрыва) происходило много чего интересного [10]. Математически этот вопрос я обсуждаю в другом месте [11].
Если, кроме аксиомы о локальной причинности, принять и аксиому о том, что всякое математическое построение отражает некую физическую реальность (что в рамках эвереттики вполне естественно), то можно увидеть, что cиракузская последовательность является чрезвычайно любопытным алгоритмом путешествия в ветвящееся прошлое.
Здесь следует пояснить, что в данном случае понимается под «ветвящимся прошлым». Это понятие может употребляться в двух смыслах. Во-первых, для обозначения движения в прошлое по ветвящейся траектории, а во вторых для обозначения того факта, что всякое «данное настоящее» имеет сложную корневую систему в прошлом, т.е. «разные истории» являются реальными историями «данного настоящего». Сиракузские последовательности имеют отношение ко второму значению – они выявляют эти корни, позволяют проследить их содержание ДО точки слияния с «данным настоящим».
Разумеется, следует помнить, «что это все же математический аппарат, сам по себе никакой физической реальности еще не отвечающий. То есть, когда возникнет необходимость и возможность описать склейки исторического характера, то для этого вполне может подойти аппарат, описывающий такие вот последовательности, неизбежно возвращающие нас к некоей однозначно определенной точке в начале числовой оси». [12].
Учитывая это замечание П.Амнуэля, скажу, тем не менее, что привлекательность такого алгоритма обусловлена следующими обстоятельствами.
Во-первых, движение по алгоритму Хассе (здесь такое наименование более уместно) является однозначным. Это означает, что, зная свойства алгоритма и входя в движение с определенной точки (N), мы всегда пройдем через одни и те же события. И можем детально исследовать каждый выбранный «исторический путь». При этом они будут причинно связанными и движение по последовательности выявит влияния будущего на прошлое на тех участках пути, где алгоритм заставляет нас «возвращаться вспять» (т.е. там, где при нечетных значениях номера события мы возвращаемся на следующем шаге к большим значениям номера, причем величина этого сдвига может заставить нас заглянуть и в далекое будущее)***. Вместе с тем, это движение на достаточно длинных последовательностях обязательно приведет нас именно в прошлое, более того – обязательно к моменту Большого взрыва, ибо ВСЕ «классические» cиракузские последовательности заканчиваются событиями номер 2 и 1.
Во-вторых, даже небольшое смещение начальной точки или алгоритма построения следующего за нечетным члена последовательности может привести к существенному изменению маршрута движения и его причинно-следственного сценария. Это удобно, когда необходимо «исследовать» структуру корневой системы «данного настоящего» (разные «альтернативные ветви истории»). Рискну предположить, что именно закономерности из класса cиракузских последовательностей, разделяют все альтернативно-исторические сценарии на два множества – «реальные» и «химерические». Первые соответствуют тем альтернативным историям, которые в результате склеек могут оказаться «корневой системой» нашего «здесь и сейчас», а вторые – тем, которые принципиально «не склеиваются» с сегодняшним состоянием мироздания.
В-третьих, существует возможность путем модификации параметров n и h в формуле для последующего члена последовательности, существенно изменять и «скорость» и характер маршрута.
В-четвертых, по мнению П.Полуяна, было бы интересно « ПРИДУМАТЬ может быть и сложный алгоритм (введение разных алгоритмов в зависимости от четного-нечетного тоже ведь усложнение) который позволит строить ветвления в обе стороны?» [13]. (В том же духе высказался и Л.Ильичев [14]). И, тем самым, приспособить алгоритм Хассе для исследований, связанных с первым значением термина «ветвящееся прошлое»!
Вероятно, когда задача использования этого алгоритма в рассматриваемом качестве перейдет «в практическую плоскость», у него обнаружатся и другие привлекательные черты, которые нам пока не видны****.
Но, разумеется, нельзя не учитывать и некоторые серьезные опасности применения обобщенных алгоритмов Хассе при «реальных движениях во времени» (при n>3 или в вариантах типа (nN-1)/2). Прежде всего, это очевидная опасность попадания во «временную петлю», типа той, которая обнаружилась при n=5 и N=5 – {13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13}. Ведь, скажем, при любом N=5х2^k мы попадем в ту же самую «ловушку»!
Принципиальным является и тот факт, что мы не знаем поведения cиракузских последовательностей при эвереттических значениях N, равных гуголам и гуголплексам. И это, на мой взгляд, вообще очень важная и плохо исследованная область математики – закономерности строения числовой оси при эвереттических значениях натуральных чисел. Нет также математической базы для осмысленного анализа траекторий движения по этим последовательностям – возможности точного расчета длины последовательности, положений и амплитуд ее максимумов.
Может быть, сама эвереттика и окажется той основой, на которой будет решена cиракузская проблема после создания полноценных квантовых компьютеров. (Работа над которыми ведется, кстати, в рамках эвереттической трактовки квантовой механики). Вообще говоря, я вижу огромный познавательный потенциал в этом будущем союзе математики и эвереттики. Но, все-таки, хотелось бы иметь не численно-модельное, а именно аналитическое решение, поскольку в первом случае всегда существует опасность «проглядеть» какие-то важные особенности, а использование алгоритма Хассе для «реальных путешествий во времени» требует максимальной надежности.
Думается, что все вышеизложенное позволяет считать задачу анализа обобщенных алгоритмов Хассе и решение (3N+1)-проблемы теории чисел весьма важными эвереттическими задачами и рекомендовать всем, кто хотел бы проявить себя в области эвереттики, и имеет соответствующую математическую подготовку, обратить внимание на эти проблемы.
Ни эвереттика, ни математика, как известно, по крайней мере пока «не допущены» до дележа Нобелевского пирога. Но всякий, решивший проблему cиракузской последовательности, вполне по праву приобретет авторитет нобелеата «здесь и сейчас» и реальную Нобелевскую премию в тех ветвях Мультиверса, где Альфред Нобель не упустил «руку и сердце» красавицы Анны Дезри из-за того, что был опозорен на петербургском балу Францем Лемаржем – Альфред не смог справиться с заданной им задачей на «квадратные корни» [15]…




*Кроме того, эта же задача известна под названиями Проблемы Коллатца (Collatz problem), Проблемы Какутани (Kakutani's problem), Алгоритма Хассе ( Hasse's algorithm) и Проблемы Улама ( Ulam's problem) [5.1]
** Гуголплекс – число 10 в степени гугола http://mech.math.msu.su/~apentus/znaete/slova/g.htm
*** Не следует думать, что значение N строго упорядочивает последовательность во времени. Из-за наличия «альтернативных» событий только для очень больших «по нашим понятиям» отрезков числовой оси можно говорить о корреляции значений N и времени. Но если «нормировать» числовую ось, скажем, гуголом, корреляция станет гораздо ярче. Впрочем, на это счет возможны и другие мнения: «Не совсем понятно, обязательно ли надо отождествлять значение члена последовательности с моментом времени. Казалось бы, можно момент времени отождествлять с номером члена последовательности (при движении от настоящего к прошлому), а само значение считать спецификатором состояния Мира» [12].
****Разумеется, и ДО этого момента могут возникнуть новые идеи. Вот одна из них: «Есть у меня еще одно интересное соображение. Ведь если брать глобально, этот алгоритм позволяет упорядочить ВСЕ ЧИСЛА. Посмотрите: конечные числа последовательности образуют стебелек, вырастающий из 1, 2, ..., а дальше все идут и идут ветвления, охватывающие ВСЕ (или не все?) числа. То есть это как бы особенное структурирование числовой оси, построенное на первичном - четно-нечетном. А ветвление в обе стороны, о котором я говорил, можно понять как отражение от единицы и поход назад. Это строго симметричное отражение задает как бы модель для всех ветвлений, возможных на всем множестве чисел, а ее легко передвигать по оси с помощью задаваемого сдвига... Алгоритм, наверное, простейший из возможных, а уже дает полный охват ВСЕГО. Возникает нечто вроде траектории движения некоего модельного сознанания по мультиверсуму чисел: мы можем начать следить за этим движением с некоторой точки - с закономерным путем до 1, а потом от единицы в обратную сторону со все более и более повышающейся неопределенностью (считая ее мерой - участок числовой оси, куда она попадает). Кажется несимметричной выделенность детерминизма на отрезке до единицы, но, поскольку этот отрезок всегда конечен, то на ВСЕМ поле чисел участок детерминизма всегда мал. Да, тут есть куда углубляться...» [16].

Источники

1. Форум сайта Algolist.Manual.ru («Алгоритмы Методы Исходники»)http://algolist.manual.ru/forum/printthread.php?Board=maths&main=317&type=post

2. Олимпиада Магнитогорского Государственного Технического Университета http://www.magtu.ru/OLIMP/TREN/OnJudge/V1/100.html

3. Редже Тулио. Курт Гедель и его теорема http://dr-gng.dp.ua/library/gedel.htm. Из этой работы я узнал о существовании проблемы (3N+1)-проблемы.

4. Хэйес Брайан. Взлеты и падения чисел-градин, «В мире науки» (Scientific American, издание на русском языке) №3, март 1984, с. 102-107, цит. по http://www.msiu.ru/~roganova/First_A_2005-2006/Collatz.htm
5. Гервер М.Л. Сиракузская последовательность
http://www.turgor.ru/lktg/1999/spr.php

Работа [5] адресована талантливым школьникам, победителям Турнира Городов.
Поэтому я обратился по e-mail к автору [5] с вопросом: "Какую литературу
можно рекомендовать тем, кто заинтересуется математическими аспектами
3N+1-проблемы? С какими источниками им следовало бы ознакомиться перед
тем, как пускаться в «самостоятельное плавание»?"
В ответ д.ф-м.н. М.Л.Гервер любезно сообщил, что для первоначального
знакомства с проблемой полезно прочесть статью Дж.Лагариаса

1. Jeffrey C. Lagarias. The 3x+1 Problem and its Generalizations.
Amer. Math. Monthly. 92 (1985) 3-23.
http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/

а для более глубокого знакомства с обширной библиографией посоветовал
постоянно пополняемый сайт Дж.Лагариаса

2. Jeffrey C. Lagarias. 3x+1 Problem Annotated Bibliography.
URL: http: // www.cecm.sfu.ca/ organics/ papers/ lagarias/ paper/
html/ local/ anno.bib.ps

и подробный обзор Г.Виршинга

3. Gunther J. Wirshing. The dynamical system on the natural
numbers generated by the 3n+1 function. Lectures notes in math.
1681, Springer (1998) 1-158.
6. Сайт МЦЭИ http://www.everettica.org/
7. Everett Hugh, "Relative State Formulation of Quantum Mechanics", Reviews of Modern Physics, 1957, v. 29, N3, p.454 - 462. пер. в виде pdf-файла можно найти на странице http://www.chronos.msu.ru/rauthorpublications.html
8. Лебедев Ю.А. Неоднозначное мироздание: Апокриф. размышления о Стрелах Времени, летящих без руля и без ветрил. - [Кострома: ООО "Инфопресс"], 2000. - 319 с.: ил. Эл. Копия http://piramyd.express.ru/disput/lebedev/text/titul.htm.
9.Weinberg Steven. Living in the Multiverse http://arxiv.org/abs/hep-th/0511037.
10. Линде А.Д. Информация из лекций «Инфляция и струнные теории» и «Многоликая вселенная», прочитанных в МГУ 08.12.05 и 13.12.05 соответственно.
11. Лебедев Ю.А. Аш-функция Хэвисайда, "Alma Mater", N 5, май 1991 г, см. эл. копию http://piramyd.express.ru/disput/lebedev/h-func.htm
12. Амнуэль П.Р. Частное сообщение по e-mail от 09.12.05.11.13
13. Полуян П.В. Частное сообщение по e-mail от 09.12.05.08.28
14. Ильичев Л.В. Частное сообщение по e-mail от 10.12.05.06.38
15.Биография Альфреда Нобеля http://www-us.aska-life.kiev.ua/people/Alfred_Nobel.html
16. Полуян П.В. Частное сообщение по e-mail от 14.12.05.06.46